Paradoxer finns överallt, från ekologi till geometri och från logik till kemi. Till och med den dator du läser artikeln är full av paradoxer. Här är tio förklaringar till några ganska fascinerande paradoxer. Vissa av dem är så konstiga att vi helt enkelt inte helt kan förstå vad poängen är.
1. Banach-Tarski-paradoxen
Föreställ dig att du håller en boll i händerna. Föreställ dig nu att du började riva den här bollen i bitar och att bitarna kan ha vilken form du vill. Sätt sedan ihop bitarna så att du får två bollar istället för en. Hur stora kommer dessa bollar att jämföras med den ursprungliga bollen?
Enligt setteorin kommer de två resulterande bollarna att ha samma storlek och form som den ursprungliga bollen. Om vi dessutom tar hänsyn till att bollarna har olika volymer i detta fall, kan någon av bollarna omvandlas i enlighet med den andra. Detta gör att vi kan dra slutsatsen att en ärt kan delas upp i bollar på solens storlek.
Paradoxets trick är att du kan bryta bollarna i bitar av vilken form som helst. I praktiken kan detta inte göras - materialets struktur och slutligen atomernas storlek sätter vissa begränsningar.
För att det verkligen är möjligt att bryta bollen precis som du vill måste den innehålla ett oändligt antal tillgängliga noll-dimensionella punkter. Då är bollen på sådana punkter oändligt tät, och när du bryter den kan formen på bitarna visa sig vara så komplexa att de inte kommer att ha en viss volym. Och du kan samla dessa bitar, som var och en innehåller ett oändligt antal poäng, till en ny boll av alla storlekar. Den nya bollen kommer fortfarande att bestå av oändliga poäng, och båda bollarna kommer att vara lika oändligt täta.
Kampanjvideo:
Om du försöker implementera idén, fungerar ingenting. Men allt fungerar bra när man arbetar med matematiska sfärer - oändligt delbara siffror i tredimensionellt rymd. Den lösta paradoxen heter Banach-Tarski-teoremet och spelar en enorm roll i matematisk uppsättningsteori.
2. Peto-paradoxen
Naturligtvis är valar mycket större än oss, vilket innebär att de har mycket fler celler i kroppen. Och varje cell i kroppen kan teoretiskt bli ondartad. Därför är valar mycket mer benägna att utveckla cancer än människor, eller hur?
Inte så här. Peto Paradox, uppkallad efter Oxford-professorn Richard Peto, hävdar att det inte finns något samband mellan djurstorlek och cancer. Människor och valar har en liknande chans att drabbas av cancer, men vissa raser av små möss är mycket mer troliga.
Vissa biologer tror att bristen på korrelation i Peto-paradoxen kan förklaras av att större djur är bättre på att motstå tumörer: mekanismen fungerar på ett sådant sätt att man förhindrar cellmutation under delningsprocessen.
3. Problemet med nuet
För att något fysiskt ska existera måste det vara närvarande i vår värld under en tid. Det kan inte finnas något objekt utan längd, bredd och höjd, och det kan inte finnas något objekt utan”varaktighet” - ett”omedelbart” objekt, det vill säga ett som inte finns under åtminstone en viss tid existerar inte alls.
Enligt universell nihilism tar fortiden och framtiden inte tid i nuet. Dessutom är det omöjligt att kvantifiera varaktigheten som vi kallar "nuvarande tid": någon tid som du kallar "nuvarande tid" kan delas in i delar - tidigare, nuvarande och framtida.
Om nuet varar, säg en sekund, kan denna sekund delas upp i tre delar: den första delen kommer att vara det förflutna, den andra - det nuvarande, den tredje - framtiden. Den tredje sekunden, som vi nu kallar nuet, kan också delas in i tre delar. Du har antagligen redan idén - du kan fortsätta så här oändligt.
Nuvarande existerar således inte riktigt eftersom det inte varar genom tiden. Universell nihilism använder detta argument för att bevisa att ingenting finns alls.
4. Moravec-paradoxet
När man löser problem som kräver tankeväckande resonemang har människor svårigheter. Å andra sidan är grundläggande motoriska och sensoriska funktioner som promenader inte svåra alls.
Men om vi pratar om datorer är det motsatta sant: det är mycket lätt för datorer att lösa de mest komplicerade logiska problemen som att utveckla en schackstrategi, men det är mycket svårare att programmera en dator så att den kan gå eller reproducera mänskligt tal. Denna skillnad mellan naturlig och konstgjord intelligens kallas Moravec-paradoxen.
Hans Moravek, forskare vid robotavdelningen vid Carnegie Mellon University, förklarar denna iakttagelse genom tanken på omvänd teknik våra egna hjärnor. Omvänd teknik är svårast för uppgifter som människor gör medvetet, till exempel motorfunktioner.
Eftersom abstrakt tänkande blev en del av människans beteende för mindre än 100 000 år sedan, är vår förmåga att lösa abstrakta problem medveten. Således är det mycket lättare för oss att skapa teknik som emulerar detta beteende. Å andra sidan förstår vi inte sådana åtgärder som att gå eller prata, så det är svårare för oss att få konstgjord intelligens att göra detsamma.
5. Benfords lag
Vad är chansen att slumpmässigt antal börjar med siffran "1"? Eller från siffran "3"? Eller med "7"? Om du är lite bekant med teorin om sannolikhet kan du anta att sannolikheten är en av nio, eller cirka 11%.
Om du tittar på de verkliga siffrorna kommer du att märka att "9" är mycket mindre vanligt än 11% av tiden. Det finns också mycket färre siffror än väntat, med början med "8", men hela 30% av siffrorna börjar med siffran "1". Denna paradoxala bild manifesterar sig i alla typer av verkliga fall, från befolkningsstorlek till aktiekurser och flodlängder.
Fysikern Frank Benford noterade först detta fenomen 1938. Han fann att frekvensen av förekomsten av en siffra när den första sjunker när siffran ökar från en till nio. Det vill säga "1" visas som den första siffran i cirka 30,1% av fallen, "2" visas i cirka 17,6% av fallen, "3" visas i cirka 12,5%, och så vidare tills "9" visas i som den första siffran i endast 4,6% av fallen.
För att förstå detta kan du föreställa dig att du numrerar lottbiljetter i tur och ordning. När du har numrerat biljetter från en till nio, finns det 11,1% chans att alla nummer kommer först. När du lägger till biljett nr 10 ökar chansen att ett slumpmässigt nummer börjar med "1" till 18,2%. Du lägger till biljetter 11 till 19 och chansen att biljettnumret börjar med “1” fortsätter att växa och når upp till 58%. Nu lägger du till biljett nummer 20 och fortsätter att numera biljetterna. Chansen att ett nummer börjar vid "2" ökar och chansen att det börjar på "1" minskar långsamt.
Benfords lag gäller inte alla nummerfördelningar. Exempelvis faller inte uppsättningar med antal vars intervall är begränsad (mänsklig höjd eller vikt). Det fungerar inte heller med uppsättningar som bara har en eller två beställningar.
Lagen omfattar dock många typer av uppgifter. Som ett resultat kan myndigheterna använda lagen för att upptäcka bedrägerier: när den information som lämnas inte följer Benfords lag kan myndigheterna dra slutsatsen att någon har tillverkat uppgifterna.
6.c-paradoxen
Gener innehåller all information som behövs för att skapa och överleva en organisme. Det säger sig självt att komplexa organismer måste ha de mest komplexa genomerna, men detta är inte sant.
Encelliga amöben har genom som är 100 gånger större än människor, de har faktiskt några av de största kända genomerna. Och i arter som är mycket lik varandra kan genomet vara radikalt annorlunda. Denna konstighet är känd som C-paradox.
En intressant avhämtning från C-paradoxen är att genomet kan vara större än nödvändigt. Om alla genomerna i humant DNA skulle användas, skulle antalet mutationer per generation vara otroligt stort.
Genomen till många komplexa djur, såsom människor och primater, inkluderar DNA som kodar ingenting. Denna enorma mängd oanvänt DNA, som varierar mycket från varelse till varelse, verkar vara oberoende av någonting, vilket skapar C-paradoxen.
7. En odödlig myra på ett rep
Föreställ dig att en myra kryper längs ett gummi rep en meter lång med en hastighet av en centimeter per sekund. Tänk dig också att repet sträcker sig en kilometer varje sekund. Kommer myran någonsin till slutet?
Det verkar logiskt att en normal myra inte kan detta, eftersom hastigheten för dess rörelse är mycket lägre än den hastighet som repet sträcker sig med. Emellertid kommer myran så småningom att komma till motsatt ände.
Innan myran ens har börjat röra sig ligger 100% av repet framför sig. En sekund senare blev repet mycket större, men myran reste också ett visst avstånd, och om du räknar i procent har avståndet som det måste färdas minskat - det är redan mindre än 100%, om än inte mycket.
Även om repet ständigt sträcks, blir det lilla avståndet som myran har rest också större. Och medan det totala repet förlängs med konstant hastighet, blir myrans väg något kortare varje sekund. Myran fortsätter också att gå framåt hela tiden med konstant hastighet. Således ökar avståndet som han redan har täckt med varje sekund, och avståndet som han måste resa minskar. Som procent, naturligtvis.
Det finns ett villkor för att problemet ska ha en lösning: myran måste vara odödlig. Så kommer myran att nå slutet på 2.8 × 1043.429 sekunder, vilket är något längre än universumet existerar.
8. Den ekologiska balansens paradox
Rovdjur-bytesmodellen är en ekvation som beskriver den verkliga ekologiska situationen. Till exempel kan modellen bestämma hur mycket antalet rävar och kaniner i skogen kommer att förändras. Låt oss säga att gräset som kaniner äter växer i skogen. Det kan antas att ett sådant resultat är gynnsamt för kaniner, eftersom de med ett överflöd av gräs kommer att reproducera sig bra och öka antalet.
Den ekologiska balansparadoxen säger att detta inte är så: till en början kommer antalet kaniner att öka, men tillväxten av kaninbeståndet i en stängd miljö (skog) kommer att leda till en ökning av rävpopulationen. Då kommer antalet rovdjur att öka så mycket att de först förstör allt rov och sedan kommer de att dö ut själva.
I praktiken fungerar denna paradox inte för de flesta djurarter - bara för att de inte lever i en stängd miljö, så att djurpopulationer är stabila. Djur kan dessutom utvecklas: till exempel, under nya förhållanden, kommer byte ha nya försvarsmekanismer.
9. Den nya paradoxen
Samla en grupp vänner och se den här videon tillsammans. När du är klar, låt alla ge sin åsikt, oavsett om ljudet ökar eller minskar under alla fyra toner. Du blir förvånad över hur olika svaren kommer att vara.
För att förstå denna paradox måste du veta en sak eller två om musiknoter. Varje ton har en viss tonhöjd, som avgör om vi hör ett högt eller lågt ljud. Noten till nästa högre oktav låter dubbelt så hög som noten från den föregående oktaven. Och varje oktav kan delas upp i två lika stora tritonintervall.
I videon skiljer newten varje par ljud. I varje par är ett ljud en blandning av samma toner från olika oktaver - till exempel en kombination av två toner C, där en låter högre än den andra. När ett ljud i en triton övergår från en ton till en annan (till exempel en G-skarp mellan två Cs), är det helt rimligt att tolka noten som högre eller lägre än den föregående.
En annan paradoxal egenskap hos newts är känslan av att ljudet ständigt blir lägre, även om tonhöjden inte förändras. I vår video kan du se effekten så länge som tio minuter.
10. Mpemba-effekten
Innan du är två glas vatten, exakt samma i allt utom ett: vattentemperaturen i det vänstra glaset är högre än till höger. Placera båda glasögonen i frysen. I vilket glas fryser vattnet snabbare? Du kan bestämma att till höger, där vattnet ursprungligen var kallare, men varmt vatten fryser snabbare än vatten vid rumstemperatur.
Denna konstiga effekt är uppkallad efter en tanzanisk student som observerade den 1986 när han frös mjölk för att göra glass. Några av de största tänkarna - Aristoteles, Francis Bacon och René Descartes - har noterat detta fenomen tidigare, men har inte kunnat förklara det. Aristoteles antagde till exempel att en kvalitet förbättras i en miljö som är motsatt till denna kvalitet.
Mpemba-effekten är möjlig på grund av flera faktorer. Det kan finnas mindre vatten i ett glas varmt vatten, eftersom en del av det kommer att avdunsta, och som ett resultat bör mindre vatten frysa. Dessutom innehåller varmt vatten mindre gas, vilket innebär att konvektionsflöden lättare kommer att inträffa i sådant vatten, därför blir det lättare för det att frysa.
En annan teori är att de kemiska bindningarna som håller vattenmolekyler samman försvagas. En vattenmolekyl består av två väteatomer bundna till en syreatom. När vattnet värms upp rör sig molekylerna något från varandra, bindningen mellan dem försvagas, och molekylerna förlorar lite energi - detta gör att varmt vatten kan svalna snabbare än kallt vatten.
