Oavsett om du vill kontrollera hur snabbt du kan fylla din kaffebryggare eller helt enkelt räkna dina steg till busshållplatsen på morgonen, finns det något med monotonin i vardagen som får oss att försöka förvandla det till ett spel. Invånarna i den preussiska staden Konigsberg under artonhundratalet (nu, som ni vet, det här är Kaliningrad) var samma som oss alla. Det var bara spelet de spelade med sju broar i deras stad som en dag väckte intresset för en av de största matematikerna i mänsklig historia.
Konigsberg byggdes vid floden Pregel (Pregolya), som delade staden i fyra separata bostadsområden. Människor flyttade från ett område till ett annat genom sju olika broar. Enligt legenden var ett populärt tidsfördriv under promenader på söndag att försöka korsa hela staden för att bara korsa varje bro. Ingen har kommit fram till hur man gör detta, men det betyder inte att problemet inte har någon lösning. De var tvungna att gå till rätt expert för att lära känna honom.
1735 skrev borgmästaren i staden Danzig (nu den polska Gdansk), belägen 120 kilometer väster om Konigsberg, Karl Leonard Gottlieb Ehler, till Leonard Euler med ett brev där han bad om hjälp för att lösa detta problem på uppdrag av en lokal matematikprofessor som heter Heinrich Kuehn. Även då var Euler en berömd och mycket framgångsrik matematiker - han publicerade sin första bok inom ett år efter detta brev, och i hela sitt liv skrev han mer än 500 böcker och artiklar.
Därför är det inte förvånande att Euler först trodde att det var under hans värdighet att hantera detta problem, och skrev som svar:”Så, ni ser, uppskattade herr, den här typen av lösning har praktiskt taget ingen relation till matematik, och jag förstår inte varför ni har att göra med sådant en begäran till en matematiker och inte till någon annan, eftersom beslutet endast bygger på sunt förnuft och inte beror på någon av de kända matematiska principerna."
I slutändan lyckades emellertid Ehler och Kühn övertyga Euler, och han insåg att detta var en helt ny typ av matematik - "positionens geometri", idag känd som topologi. I topologin spelar ingen roll den exakta formen eller platsen för ett objekt. Det finns till och med ett gammalt skämt att en topolog inte kan skilja skillnaden mellan en munk och en kaffekopp, eftersom båda artiklarna har exakt ett hål. Fram till dess skrivs detta helt nya matematikområde bara om, men ingen förstod ännu vilka problem den kunde lösa. De sju Konigsbergbroarna var utmärkt experimentell bekräftelse av den nya teorin, eftersom problemet inte krävde några mätningar eller exakta beräkningar. Du kan förvandla en komplex stadskarta till en enkel och förståelig graf (diagram) utan att förlora någon viktig information.
Medan man kanske frestas att lösa detta problem genom att kartlägga alla möjliga rutter genom staden, insåg Euler omedelbart att denna strategi skulle ta för lång tid och inte skulle fungera med andra liknande problem (tänk om det fanns tolv broar?). Istället beslutade han att tillfälligt distrahera sig från broarna och markerade landområdena med bokstäverna A, B, C och D. Därför kunde han nu beskriva resan över bron från område A till område B som AB, och resan från område A till område B-området D som ABD. Det är här viktigt att notera att antalet bokstäver i ruttbeskrivningen alltid är mer än antalet korsade broar. Således korsar rutt AB en bro och rutt ABD korsar två broar, och så vidare. Euler insåg att eftersom det finns sju broar i Konigsberg för att korsa dem alla,rutten måste bestå av åtta bokstäver, vilket innebär att det krävs exakt åtta bokstäver för att lösa problemet.
Sedan kom han på en mer allmän regel med ett ännu mer förenklat schema. Om du bara hade två överlandsavsnitt, A och B, och korsade bron en gång, kunde sektion A vara där resan började eller där den slutade, men du skulle bara vara i avsnitt A en gång. Om du korsade broarna a, b och c en gång, skulle du vara på avsnitt A exakt två gånger. Detta ledde till en praktisk regel: om du har ett jämnt antal broar som leder till ett land måste du lägga till en till det numret och sedan dela det totala med två för att räkna ut hur många gånger det avsnittet ska användas under din resa. (i det här exemplet, lägga till en till antalet broar, det vill säga till 3, får vi fyra, och delar fyra för två får vi två,det vill säga, det är exakt två gånger under resan som avsnitt A) passeras.
Kampanjvideo:
Detta resultat förde Euler tillbaka till sitt ursprungliga problem. Det finns fem broar som leder till avsnitt A, så den åtta bokstavslösningen han letar efter måste korsas tre gånger. Avsnitt B, C och D har två broar som leder till dem, så var och en måste korsa två gånger. Men 3 + 2 + 2 + 2 är 9, inte 8, men enligt villkoret måste du bara gå igenom 8 sektioner och korsa 7 broar. Det betyder att det är omöjligt att gå igenom hela staden Königsberg med hjälp av varje bro exakt en gång. Med andra ord, i detta fall har problemet ingen lösning.
Men som alla riktiga matematiker slutade Euler inte där. Han fortsatte att arbeta och skapade en mer allmän regel för andra städer med ett annat antal broar. Om staden har ett udda antal broar, finns det ett enkelt sätt att ta reda på om du kan göra en sådan resa eller inte: om summan av antalet händelser för varje bokstav som anger en mark är en mer än antalet broar (som till exempel i åtta-bokstavslösningen, ungefär nämnde tidigare), en sådan resa är möjlig. Om summan är större än detta antal är det omöjligt.
Vad sägs om ett jämnt antal broar? I det här fallet beror det allt på var man ska börja. Om du börjar vid avsnitt A och reser över två broar, visas A två gånger i din lösning. Om du börjar på andra sidan, kommer A att visas en gång. Om det finns fyra broar visas A tre gånger om detta avsnitt var utgångspunkten, eller två gånger om det inte var det. Generellt betyder detta att om resan inte startar från avsnitt A, måste den korsas dubbelt så många gånger som antalet broar (fyra dividerat med två ger två). Om resan börjar från sektion A, måste den korsa en gång till.
Strålningen av Eulers lösning ligger inte ens i svaret, utan i den metod han använde. Det var ett av de tidigaste användningsfallen av grafteori, även känd som nätverksteori, ett mycket eftertraktat matematikfält i dagens värld fylld med transport, sociala och elektroniska nätverk. När det gäller Königsberg hamnade staden med en annan bro, vilket gjorde Eulers beslut kontroversiellt, och sedan förstörde brittiska styrkor större delen av staden under andra världskriget. Idag har både staden och floden nya namn, men det gamla problemet lever i ett helt nytt matematikfält.
Igor Abramov
