Ytterligare ett parti paradoxer och tankeexperiment
Denna samling tar dig mycket mindre tid att läsa än att reflektera över de paradoxer som presenteras i den. Vissa av problemen är motstridiga först vid första anblicken, andra, även efter hundratals år av intensivt mentalt arbete med dem av de största matematikerna, filosoferna och ekonomerna, verkar olösliga. Vem vet, kanske är det du som kommer att kunna formulera en lösning på ett av dessa problem, som, som de säger, lärobok och kommer att inkluderas i alla läroböcker.
1. Värdets paradox
Fenomenet, även känt som diamant- och vattenparadoxen eller Smith-paradoxen (uppkallad efter Adam Smith, den klassiska ekonomen som tros vara den första att formulera denna paradox), är att medan vatten som resurs är mycket mer användbart än kristallbitar kol, som vi kallar diamanter, är det sistnämnda priset på den internationella marknaden ojämförligt högre än kostnaden för vatten.
Adam Smith
Med tanke på överlevnad behöver mänskligheten verkligen vatten mycket mer än diamanter, men dess reserver är naturligtvis mer än diamanter, så experter säger att det inte är något konstigt i prisskillnaden - trots allt talar vi om kostnaden per enhet för varje resurs, och det bestäms till stor del av detta en faktor som marginalverktyg.
Med en kontinuerlig konsumtion av en resurs, dess marginella användbarhet och, som ett resultat, värdet faller oundvikligen - detta mönster upptäcktes på 1800-talet av den preussiska ekonomen Hermann Heinrich Gossen. Enkelt uttryckt, om en person konsekvent erbjuds tre glas vatten, kommer han att dricka den första, tvätta vattnet från den andra och den tredje går på golvet.
Kampanjvideo:
De flesta av mänskligheten upplever inte ett akut behov av vatten - för att få tillräckligt med det måste du bara slå på vattenkranen, men inte alla har diamanter, varför de är så dyra.
2. Den mördade farfarens paradox
Denna paradox föreslogs 1943 av den franska science-fictionförfattaren Rene Barzhavel i sin bok The Careless Traveller (original Le Voyageur Imprudent).
Rene Barzhavel
Anta att du lyckades uppfinna en tidsmaskin, och du gick till det förflutna på den. Vad händer om du träffar din farfar där och dödar honom innan han träffade din mormor? Förmodligen kommer inte alla att gilla det blodtörstiga scenariot, så, säg, du förhindrar mötet på ett annat sätt, till exempel, ta honom till den andra änden av världen, där han aldrig kommer att veta om dess existens, paradoxen försvinner inte från detta.
Om mötet inte äger rum, kommer din mor eller far inte att föds, inte kommer att kunna bli gravid dig, och följaktligen kommer du inte att uppfinna en tidsmaskin och gå tillbaka i tiden, så farfar kan gifta sig med mormor utan hinder, de kommer att ha en av dina föräldrar, och så vidare. - paradoxen är uppenbar.
Historien om farfar som dödats i det förflutna citeras ofta av forskare som bevis på den grundläggande omöjligheten av tidsresor, men vissa experter säger att under vissa förhållanden är paradoxen ganska lösbar. Genom att döda sin farfar till exempel kommer tidsresenären att skapa en alternativ version av verkligheten där han aldrig kommer att föds.
Dessutom antyder många att till och med att han har fallit i det förflutna, kommer en person inte att kunna påverka honom, eftersom detta kommer att leda till en förändring i framtiden, som han är en del av. Exempelvis är ett försök att mörda en farfar avsiktligt dömt till misslyckande - trots allt, om barnbarnet existerar, överlevde hans farfar på ett eller annat sätt mordförsöket.
3. Skicka Theseus
Paradoxens namn gavs av en av de grekiska myterna som beskrev exploaterna av den legendariska Theseus, en av de ateniska kungarna. Enligt legenden behöll atenerna fartyget på vilket Theseus återvände till Aten från ön Kreta i flera hundra år. Naturligtvis försämrades fartyget gradvis, och snickarna bytte ut de ruttna brädorna med nya, till följd av att det inte fanns ett stycke gammalt trä kvar i det. De bästa sinnena i världen, inklusive framstående filosofer som Thomas Hobbes och John Locke, har under århundraden funderat över om dessa kan anses ha varit på detta skepp.
Således är kärnan i paradoxen följande: om du ersätter alla delar av objektet med nya, kan det vara samma objekt? Dessutom uppstår frågan - om du monterar exakt samma objekt från de gamla delarna, vilken av de två kommer att vara "samma"? Representanter för olika filosofiska skolor gav direkt motsatta svar på dessa frågor, men vissa motsägelser i möjliga lösningar på Theseus 'paradox finns fortfarande.
Förresten, om vi anser att cellerna i vår kropp nästan helt förnyas var sjunde år, kan vi anta att vi i spegeln ser samma person som för sju år sedan?
4. Galileos paradox
Det fenomen som upptäckts av Galileo Galilei demonstrerar de motstridiga egenskaperna hos oändliga uppsättningar. En kort formulering av paradoxen är som följer: det finns lika många naturliga nummer som det finns kvadrater, det vill säga antalet element i en oändlig uppsättning 1, 2, 3, 4 … är lika med antalet element i en oändlig uppsättning 1, 4, 9, 16 …
Vid första anblicken finns det ingen motsägelse här, men samma Galileo i sitt arbete "Två vetenskaper" hävdar: vissa siffror är exakta kvadrater (det vill säga du kan extrahera en hel kvadratrot från dem), medan andra inte är exakta kvadrater tillsammans med vanliga nummer det måste finnas mer än en exakt kvadrat. Samtidigt, tidigare i "Vetenskaper" finns det ett postulat om att det finns lika många kvadrater med naturliga nummer som det finns naturliga nummer själva, och dessa två uttalanden står direkt motsatt varandra.
Galileo själv trodde att paradoxen bara kan lösas i förhållande till ändliga uppsättningar, men Georg Cantor, en av de tyska matematikerna från 1800-talet, utvecklade sin teori om uppsättningar, enligt vilka Galileos andra postulat (ungefär samma antal element) också gäller för oändliga uppsättningar. För detta introducerade Cantor begreppet kardinalitet, som sammanföll i beräkningarna för båda oändliga uppsättningar.
5. Sparsamhetens paradox
Den mest berömda formuleringen av ett nyfiken ekonomiskt fenomen som beskrivs av Waddill Ketchings och William Foster är: "Ju mer vi sparar för en regnig dag, desto förr kommer det." För att förstå essensen av motsättningen i detta fenomen, lite ekonomisk teori.
William Foster
Om en stor del av befolkningen under en konjunkturnedgång börjar spara sina besparingar, minskar den sammanlagda efterfrågan på varor, vilket i sin tur leder till en minskning av intäkterna och som en följd till en minskning av den totala besparingsnivån och en minskning av sparandet. Enkelt uttryckt finns det en slags ond cirkel där konsumenterna spenderar mindre pengar, men därmed förvärrar deras välbefinnande.
På ett sätt är sparsomhetens paradox analogt med problemet i spelteori som kallas fångens dilemma: handlingar som är fördelaktiga för varje deltagare i en situation individuellt är skadliga för dem som helhet.
6. Pinocchio-paradoxen
Detta är en delmängd av det filosofiska problemet känt som den lögnliga paradoxen. Denna paradox är enkel i form, men inte på något sätt i innehåll. Det kan uttryckas i tre ord: "Detta uttalande är en lögn", eller till och med i två ord - "Jag ljuger." I versionen med Pinocchio formuleras problemet enligt följande: "Min näsa växer nu."
Jag tror att du förstår motsägelsen i detta uttalande, men i fallet, låt oss prata allting över det: om frasen är korrekt, så växer näsan verkligen, men det betyder att för tillfället lyckas påven Carlo påvivande, vilket inte kan vara, så eftersom vi redan har konstaterat att uttalandet är sant. Detta innebär att näsan inte ska växa, men om detta inte är sant, är uttalandet fortfarande sant, och detta i sin tur indikerar att Pinocchio ligger … Och så vidare - kedjan av ömsesidigt exklusiva orsaker och effekter kan fortsättas på obestämd tid.
Lövarens paradox visar motsättningen mellan uttalandet i samtal och formell logik. Ur klassisk logisk synvinkel är problemet olösligt, så uttalandet "Jag ljuger" anses inte alls vara logiskt.
7. Russells paradox
Paradoxen, som dess upptäckare, den berömda brittiska filosofen och matematikern Bertrand Russell, kallade inget annat än barberparadoxen, strikt talat, kan betraktas som en av formerna för lögnens paradox.
Anta att när du går förbi en frisör ser du en annons på den: “Rakar du dig själv? Om inte är du välkommen att raka dig! Jag rakar alla som inte rakar sig själv och ingen annan! " Det är naturligt att ställa frågan: hur hanterar en barberare sin egen stubb om han bara rakar de som inte rakar sig på egen hand? Om han själv inte rakar sitt eget skägg motsäger detta hans skrymmande uttalande: "Jag rakar alla som inte rakar sig själva."
Naturligtvis är det lättast att anta att den smalsinnade barberaren helt enkelt inte tänkte på motsägelsen i skylten och glömmer bort detta problem, men att försöka förstå dess väsen är mycket mer intressant, även om detta kommer att kräva en kort djup i matematisk uppsättningsteori.
Russells paradox ser så här ut:”Låt K vara uppsättningen av alla uppsättningar som inte innehåller sig själva som ett korrekt element. Innehåller K sig själv som sitt eget element? Om ja, motbevisar detta påståendet att uppsättningarna i dess sammansättning "inte innehåller sig själva som ett riktigt element", om inte, finns det en motsägelse med det faktum att K är uppsättningen för alla uppsättningar som inte innehåller sig själva som ett riktigt element, och därför måste K innehålla alla möjliga element, inklusive dig själv."
Problemet uppstår på grund av det faktum att Russell i sin resonemang använde begreppet "uppsättningen av alla uppsättningar", som i sig är ganska motsägelsefulla, och styrdes av lagarna i klassisk logik, som inte är tillämpliga i alla fall (se punkt sex).
Upptäckten av barberparadoxen väckte upphettade debatter i olika vetenskapliga kretsar, som inte har sjunkit till denna dag. För att "rädda" uppsättningsteori har matematiker utvecklat flera axiomsystem, men det finns inga bevis för att dessa system är konsistenta och enligt vissa forskare kan det inte vara det.
8. Födelsedagsparoxet
Problemet är kärnan i detta: Om det finns en grupp på 23 eller fler personer, är troligen att två av dem har samma födelsedag (dag och månad) större än 50%. För grupper från 60 personer är chansen över 99%, men den når bara 100% om det finns minst 367 personer i gruppen (med hänsyn till skottår). Detta bevisas av Dirichlet-principen, uppkallad efter upptäckaren, den tyska matematikern Peter Gustav Dirichlet.
Peter Gustav Dirichl
Strikt sett, från en vetenskaplig synvinkel, motsäger detta uttalande inte logiken och är därför inte en paradox, men det visar perfekt skillnaden mellan resultaten från en intuitiv strategi och matematiska beräkningar, eftersom vid en första anblick, för en så liten grupp, sannolikheten för slump verkar överskattas.
Om vi betraktar varje medlem i gruppen individuellt och beräknar sannolikheten för att deras födelsedag sammanfaller med någon annan, för varje person är chansen ungefär 0,27%, så den totala sannolikheten för alla medlemmar i gruppen bör vara cirka 6,3% (23 / 365). Men detta är i grunden fel, eftersom antalet möjliga alternativ för att välja vissa par av 23 personer är mycket högre än antalet medlemmar och är (23 * 22) / 2 = 253, baserat på formeln för att beräkna det så kallade antalet kombinationer från en given uppsättning. Vi kommer inte att fördjupa oss i kombinatorik, du kan kontrollera riktigheten av dessa beräkningar på din fritid.
För 253 varianter av par är chansen att månaden och födelsedatumet för deltagarna i ett av dem samma, som du antagligen gissat, mycket mer än 6,3%.
9. Problemet med kyckling och ägg
Visserligen ställdes var och en av er minst en gång i ditt liv frågan: "Vad kom först - en kyckling eller ett ägg?" Erfaren i zoologi vet svaret: fåglar föddes från ägg långt innan uppkomsten av kycklingordning bland dem. Det är värt att notera att det i den klassiska formuleringen bara handlar om en fågel och ett ägg, men det möjliggör också en enkel lösning: trots allt till exempel dök dinosaurier inför fåglar, och de multiplicerades också med att lägga ägg.
Om vi tar hänsyn till alla dessa subtiliteter kan vi formulera problemet på följande sätt: vad som dök upp tidigare - det första djuret som lägger ägg, eller sitt eget ägg, för någonstans måste en representant för en ny art kläckas.
Det huvudsakliga problemet är att upprätta ett orsakssamband mellan fenomenen med fuzzy volume. För en mer fullständig förståelse av detta, kolla Principles of Fuzzy Logic - generaliseringar av klassisk logik och setteori.
Enkelt uttryckt är det faktum att djur under utvecklingen har genomgått otaliga mellanstadier - detta gäller också avelsmetoder. I olika utvecklingsstadier lagde de olika föremål som inte entydigt kan identifieras som ägg, men har vissa likheter med dem.
Det finns förmodligen ingen objektiv lösning på detta problem, även om till exempel den brittiska filosofen Herbert Spencer föreslog detta alternativ: "Hönan är bara ett sätt på vilket ett ägg producerar ett annat ägg."
10. Cellförsvinnande
Till skillnad från de flesta av de andra paradoxerna i samlingen innehåller detta lekfulla "problem" inte motsägelser, utan tjänar snarare till att träna observationer och får dig att komma ihåg de grundläggande lagarna i geometri.
Om du är bekant med sådana uppgifter kan du hoppa över att titta på videon - den innehåller dess lösning. Vi föreslår att alla andra inte klättrar, som de säger”till slutet av läroboken”, utan att tänka på det: områdena i flerfärgade figurer är absolut lika, men när de är omarrangerade försvinner en av cellerna”eller blir” onödig”- beroende på vilken variant av figurernas placering betraktas som initial). Hur kan det vara såhär?
Tips: till en början finns det ett litet knep i problemet, vilket säkerställer dess "paradoxalitet", och om du lyckas hitta det kommer allt omedelbart att falla på plats, även om cellen fortfarande "försvinner".